大國院士 第一百八十章 用世界級數學難題來檢驗自己的學習

    向德利涅教授請了一周的假期後，徐川潛在宿舍中整理著米爾扎哈尼教授留給他的稿紙。

    這次整理，就不是粗略的過一遍了。

    而是詳細的去學習這些稿件中的知識，將其吸收轉化成自己的智慧。

    一名菲爾茲獎臨終前的遺留，儘管只是一部分，也足夠一個普通的數學家研究數年甚至是半生了。

    對於徐川而言，這些遺留的稿紙中的計算並不是什麼珍貴的東西，有數學基礎，很多人都能計算推衍出來。

    但這些公式與筆跡中遺留的思想和數學方法與路線，卻彌足珍貴。

    這些東西，哪怕還未成型，僅僅只是一些思路，也是很多數學家終一生都不見得能做出來的成果。

    畢竟在所有的自然科學中，若要說依賴天賦的程度，數學無疑是站在金字塔尖的獨一檔。

    哪怕是物理和化學，在依賴天賦的程度上都略遜色於數學。

    可以說沒有什麼其他學科比數學更吃天賦了。

    這是一門需要強大邏輯思維才能『真正』學好的科目。

    數學問題往往需要你發揮一定的創造力，從而解決陌生的問題。

    如果老師的水平不夠，而你又沒能自己找到正確的方法和方向，很有可能白努力，越學越崩潰。

    不止要有正向思維還要有逆向思維，在每個知識類別都有很多的公式，而這些公式之間卻還有著巧妙的聯繫；記憶、計算、論證、空間、靈活、轉變、各種你能在其他科目上找到的技巧幾乎全部都會在數學上體現。

    很多網友說，被數學支配的恐懼與年齡無關，從小時候自己學習怕，長大後輔導孩子依舊還怕。

    也有網友說，人被逼急了什麼事都能做得出來，數學題除外。

    儘管這只是一些玩笑話，但數學確實是一門沒有天賦、無法學好的學科。

    或許你能在大學之前，依靠各種題海戰術，名師的講解拿到高考的滿分，但進入大學或者更深入的學習後，你很快就會跟不上節奏。

    哪怕花費再多的時間，盡最大努力，也不一定能理解某些數學主題的含義，也無法學習應用那些比高中更複雜的定理和公式。

    比如勾股定理，這是進入初中就會學習的東西。

    勾三股四弦五。

    這是很多人的回憶。

    然而很多人也就記住了這一句，這是最常見的勾股數。

    但是後面呢？

    （5，12，13）（7，24，25）（9，40，41，）......2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1.......

    這些是最最最基礎的數學，也不知道還有多少人記得。

    恐怕十分之一的人都沒有，更別提與勾股數相關聯的其他數學公式定理與數據了。

    如果在數學上沒有天賦，學習起數學來，恐怕會相當痛苦。

    那種一堂課掉了一支筆，撿起來後，數學就再也沒跟上過節奏的，也不是什麼離奇的事情。

    .......

    宿舍中，徐川一邊整理著米爾扎哈尼教授留給他的稿紙，同時也在整理著自己近半年來所學習的一些知識。

    「代數幾何的一個基本結果是：任意一個代數簇可以分解為不可約代數簇的並。這一分解稱為不可縮的，如果任意一個不可約代數簇都不包含在其他代數簇中。」

    「而在在構造性代數幾何中，上述定理可以通過 ritt-吳特徵列方法構造性實現，設s為有理係數 n個變量的多項式集合，我們用 zero(s)表示 s中多項式在複數域上的公共零點的集合，即代數簇。」

    「.......」

    「如果通過變量重新命名後可以寫成如下形式：

    a?(u?，···， uq， y?)=i?y??d?+y?的低次項；

    a?(u?，···， uq， y?， y2)= i?y??d?+y?的低次項；

    ······

    「ap(u?，···， uq， y?，···， yp)= ip?yp+yp的低次項。」

    「......設 as ={a1···， ap}、j為 ai的初式的乘積.對於以上概念，定義sat(as)={p|存在正整數 n使得 j np∈(as)}........」

    稿紙上，徐川用圓珠筆將腦海中的一些知識點重新寫了一遍。

    今年上半年，他跟隨著的德利涅和威騰兩位導師，學到了相當多的東西。

    特別是在數學領域中的群構、微分方程、代數、代數幾何這幾塊，可以說極大的充實了自己。

    而米爾扎哈尼教授留給他的稿紙上，有著一部分微分代數簇相關的知識點，他現在正在整理的就是這方面的知識。

    眾所周知，代數簇是代數幾何里最基本的研究對象。

    而在代數幾何學上，代數簇是多項式集合的公共零點解的集合。歷史上，代數基本定理建立了代數和幾何之間的一個聯繫，它表明在複數域上的單變量的多項式由它的根的集合決定，而根集合是內在的幾何對象。

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    20世紀以來，複數域上代數幾何中的超越方法也有重大的進展。

    例如，德·拉姆的解析上同調理論，霍奇的調和積分理論的應用，小平邦彥和斯潘塞的變形理論等等。

    這使得代數幾何的研究可以應用偏微分方程、微分幾何、拓撲學等理論。

    而這其中，代數幾何的核心代數簇也被隨之應用到其他領域中，如今的代數簇已經以平行推廣到代數微分方程，偏微分方程等領域。

    但在代數簇中，依舊有著一些重要的問題沒有解決。

    其中最關鍵的兩個分別是『微分代數簇的不可縮分解』和『差分代數簇的不可約分解』。

    儘管ritt等數學家早在二十世紀三十年代就已經證明：任意一個差分代數簇可以分解為不可約差分代數簇的並。

    但是這一結果的構造性算法一直未能給出。

    簡單的來說，就是數學家們已經知道了結果是對的，卻找不到一條可以對這個結果進行驗算的路。

    這樣說雖然有些粗糙，但卻是相當合適。

    而在米爾扎哈尼教授的稿紙上，徐川看到了這位女菲爾茲獎得主朝這方面努力的一些心得。

    應該是受到了此前他在普林斯頓交流會上的影響，米爾扎哈尼教授在嘗試給定兩個不可約微分升列 as1， as2，判定 sat(as1)是否包含 sat(as2)。

    這是『微分代數簇的不可縮分解』的核心問題。

    熟悉了整個稿紙，並且跟隨德利涅教授在這方面深入學習過的他，很容易的就理解了米爾扎哈尼教授的想法。

    在這個核心問題中，米爾扎哈尼教授提出了一個不算全新卻也新穎的想法。

    她試圖通過構建一個代數群、子群和環面，來進一步做推進。

    而建立這些東西所使用的靈感和方法，就來源於他之前在普林斯頓的交流會以及weyl-berry猜想的證明論文上。

    ......

    「很巧妙的方法，或許真的能將代數簇推廣到代數微分方程上面去，可能過程會稍微曲折了一點......」

    盯著稿紙上的筆跡，徐川眼眸中流露出一絲興趣，從桌上扯過一張列印紙，手中的圓珠筆在上面記錄了起來。

    「.....微分代數簇的不可縮分解問題從廣義上來講，其實已經被ritt-吳分解定理包含在內了。」

    「但是ritt-吳分解定理在有限步內構造不可約升列ask，並構建了諸多的分解，而在這些分解中，有些分支是多餘的.要想去掉這些多餘分支，就需要計算 sat(as)的生成基了。」

    「......因為歸根到底，它最終可降解為ritt問題。即：a是含有 n個變量的不可約微分多項式，判定(0，···， 0)是否屬於 zero(sat(a))。」

    「......」

    手中的圓珠筆，一字一句的將心中的想法鋪設在列印紙上。

    這是開始解決問題前的基本工作，很多數學教授或者科研人員都有這樣的習慣，並不是徐川的獨有習慣。

    將問題和自己的思路、想法清晰的用筆紙記錄下來，然後詳細的過一遍，整理一邊。

    這就像是寫小說之前寫大綱一樣。

    它能保證你在完結手中的書籍前，核心劇情都是一直圍繞主線來進行的；而不至於離譜到原本是都市文娛文，寫著寫著就修仙去了。

    搞數學比寫小說稍稍好一點，數學不怕腦洞，怕的是你沒有足夠的基礎知識和想法。

    在數學問題上，偶爾一現的靈感和各種奇思妙想相當重要，一個靈感或者一個想法，有時候就可能解決一個世界難題。

    當然，因為錯誤的想法，而將自己的研究陷入死路的也不少。

    放到網文圈，這大抵就是寫了一輩子小說，撲了一輩子還是個簽約都難的小菜鳥，或者說寫了無數本，百萬字之前必定蹦書那種。

    .....

    將腦海中的思路整理出來後，徐川就暫時先放下了手中的圓珠筆。

    代數簇相關的東西，僅僅是米爾扎哈尼教授留給他的稿紙上的一部分知識而已。他現在要做的是將這幾十張稿紙全都整理出來，而不是一頭扎進新的問題研究中。

    儘管這個問題撓的他心頭有些痒痒，恨不得現在就開始研究，但做事還是得有始有終。

    花費了幾天的時間，徐川妥善的將米爾扎哈尼教授留給他的稿紙全都整理了出來。

    三四十頁稿紙，看起來很多，真正的整理完成後，用不到五頁紙就記錄完整了。

    原稿紙上真正精髓的想法和知識點其實並不多，多的是一些米爾扎哈尼教授隨筆的計算數據，有用的主體基本都來源於weyl-berry猜想的證明論文上使用的方法。

    當然，米爾扎哈尼教授的學識肯定不止這點，但兩人的交集就這點。

    米爾扎哈尼教授能將這些東西遺留給他，徐川心裡很感激。

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    因為這些稿紙，她完全可以留給自己的學生或者後人。

    依照這些東西，如果繼承者有一定能力的話，是有很大的概率是能繼續在這上面做出些成績出來的。

    但米爾扎哈尼教授並沒有私心，反而將這些東西送給了他這個僅僅見過一兩面的『陌生人』。

    這大抵就是學術界的光輝吧。

    .......

    將有用的東西整理出來後，徐川小心的將米爾扎哈尼教授留給他的原稿紙收納起來，放進專門存放重要資料的書櫃中。

    這些東西，用再尊重的態度去對待都不為過，而且將來回國的時候，他必定會帶回去。

    處理完這些，徐川重新坐回了桌前。

    像德利涅教授請的假還有兩天的時間，與其提前回去，不如利用這個時間對『微分代數簇的不可縮分解』問題做一下嘗試。

    這個問題的確很難，但是 ritt-吳分解定理已經將相應的微分代數簇分解為不可約微分代數簇，剩下的，就是進一步得到不可縮分解了。

    如果在沒有得到米爾扎哈尼教授的遺留前，他大抵是不會有朝這方面研究的想法的。

    原本他的目標是朗蘭茲綱領中的自守形式與自守l函數，但現在，原先的目標稍稍放一下也沒有關係。

    而且『微分代數簇的不可縮分解』領域是他今年上半年和德利涅教授學習的數學領域之一。

    就用這個問題，來檢驗一下他的學習成果好了。

    想著，徐川嘴角揚起了一抹自信的笑容。

    用一個世界級的數學難題，來當做學習成果的檢測題，這種話說出去大概率會被其他人當做狂妄自大。

    但他有這樣的自信。

    這不是這輩子學習數學帶來的，而是上輩子一路攀登高峰養成的。

    ......

    從桌上取過一疊稿紙，徐川將之前整理出來的思路又看了一遍，而後沉吟了一下，轉動了手中的圓珠筆。

    「引入：設k是一個域，假設k是代數閉的，設g是k上的連通約化代數群，設y是g的borel子群的簇，設b∈y，設t是b的極大環面，設n是g中t的正規化子，設w = n/t是weyl群......」

    「對於任何˙ b，其中w∈n代表w.......」

    「設c∈ w，設d(l(w)；w∈ ={ w∈c；l(w)= dc}.....」

    「......存在唯一的γ∈ g，使得γn gw?之類的

    每當γj∈ g，γjn gw?，有γ?γ j。且，γ只取決於c......」

    .......

    ps:不知道怎麼回事，之前沒被審核過，最近連著又被審核了一次，晚上修改檢查了好久才重發出來，今天晚上還有一章的。

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