次日,八點半,國奧賽正式開始。一筆閣 www.yibige.com
選手們拿著零食、飲料、參考書、作圖工具等,在規定的時間內紛紛走入考場。
嗯,比賽是可以帶食物和參考書的,畢竟比賽時間太長了,而這原本就是開卷考試。
除了不能攜帶電子設備入場,其他的一切都像參加冬令營那樣輕鬆寫意。
田立心手上卻只拿了作圖工具和一瓶水。
走入考場後,田立心發現這教室一共有二十五位考生,每位考生的桌面上都插著一面國旗,這些考生基本都來自不同的國家。
旁邊坐的正是有前些天見過的寶島女生,她也是教室里唯一的女生。
左前方,是一位阿三選手。
右前方,是一位俄國選。
除了旁邊的寶島女生,周圍坐的都是來自各大數學競賽強國的人啊。
不過,寶島姑娘的桌上雖插著白日青天旗,本質上,也同屬於華夏這個競賽強國嘛。
時間一到,兩位監考老師就將試卷分發了下來。
拿到卷子後,旁邊這位女生的臉色就不那麼好看了。
試卷是翻譯過的,她的卷子上肯定也同為漢字。
看不懂題,是不能用外語太差來背鍋的。
對田立心來說,第一道門檻題倒還真是送分題,他只略一思索就有了思路。
這道題的題目是這樣的,「對全體滿足a,b,c,d,e≥-1,a+b+c+d+e=5的實數,求s=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。」
先設a+b=a,b+c=b,c+d=c,d+e=d,e+a=e,s為五個數的乘積。
討論s的最大值時,abcde這五個數必為五個正數或有偶數個負數奇數個正數,這樣的情況分為三種,即五個是正數,或一個正數四個負數,或三個正數兩個負數。
求s最小的最小值,則abced中的負數必為奇數個,其分別為五個負數,或三個負數兩個正數,或一個負數四個正數。
有了這個思路之後,解題步驟可以一蹴而就了。
解令a+b=a,b+c=b,c+d=c,d+e=d,e+a=e,則abcde均大於-2,a+b+c+d+e=10。
1,先討論abcde都為正數的情況,由算數幾何平均不等式可知,則s≤((10/5)5=32。
a=b=c=d=e=1時取等。
當abcde中有一個正數四個負數時,設a≈ap;gt;0,bcde四個數都小於0。
由b+c≈ap;lt;0可知,a≥5,
又因為e≥-1,所以e≥4。
與假設矛盾。
捨去。
當abcde為三個正數兩個負數時,有相鄰兩個為負數或間隔出現負數這兩種情況。
兩個負數相鄰時,令a=b=-2。
則c+d+e=(-1+d)+(d+e)+(e+-1)=14
即d=d+e=8,而ce≤(c+e)2/4=(d+e-2)2/4=9當且僅當c=e=3時取等號,此時s=22x8x9=288
兩個負數間隔出現時,令a,c≈ap;lt;0取-2時,a,b,c,d=-1,b=b+c≈ap;lt;0
與假設矛盾。
捨去。
綜上,s ≤288,當a=b=c=-1,d=e=4時取等。
2,當abcde都為負數,那麼abcde≈ap;lt;0也成立,與a+b+c+d+e=10矛盾。
捨去。
當abcde有三個負數一個正數時,令abc都為負數,則有a,b,c≥-2。
由此得到d+e≤16,cd的乘積≤64,。
故有s≥64(-2)(-2)(-2)≥-512,a=b=c=d=-1,e=9時取等。
當abcde有一個負數四個正數時,令a為負數,取為0≈ap;gt;a≥-2,
bcde≤((10-a)/4)4≤81
那麼,s≥81-2=-162。
綜上,s≥-512,a=b=c=d=-1,e=9時取等。
……
田立心滿意地看著稿紙上的答案,隨後就抄到了卷子上。
門檻題的7分,已經是妥妥的了。
繼續。
第二道是平面幾何題,「r和s是圓上非直徑端點的兩點,作t使得s為rt中點,j為rs劣弧上任意一點,△jst外接圓和r的切線交於一點a,aj和rs所在圓交於另一點k,求證kt與△jst外接圓相切。」
田立心在草稿紙上畫出圖來,很快就有了解題思路。
對華夏的學生來說,平面幾何都是送分題!
拿下這兩道題,銅牌就已經算是到手了,但這離田立心的最終目標還很遠很遠。
第三題。
怎麼還是幾何?
「一個獵人和一隻隱形的兔子在歐氏平面上玩一個遊戲。已知兔子的起始位置a0與獵人的起始位置b0重合,在遊戲進行n-1回合後,兔子位於點an-1,獵人位於點bn-1。在第n個回合中,以下三件事件依次發生。
(1)兔子移動到點an,使得an-1與an的距離恰好為1。
(2)一個定位設備向獵人反饋一個點pn,該設備唯一能保證pn與an之間的距離至多為1。
(3)獵人移動到點bn,並且滿足bn-1與bn之間的距離恰好為1。
試問是否無論兔子如何移動,也無論定位設備反饋了哪些點,獵人總能夠適當地選擇它的移動方式,使得經過10的9次方輪遊戲後,獵人與兔子之間的距離不超過100?」
讀完題,田立心憑直覺就知道答案是不可能了。
但做數學題不能只憑直覺啊,寫出答案卻沒寫過程的,零分不能再多了。
這題好像很難啊!
模擬獵人追擊隱形兔子的物理場景,應該是關鍵性的第一步。
可以假設獵人和兔子在n個回合之後的距離s,必然存在0≈ap;lt;s≈ap;lt;100。
首先,第一次追蹤設備報告點p1=a0,那麼不管獵人如何移動,都有可能與兔子移動的方向相反,此時距離s=2。
由於定位點的對稱性,獵人於n步後到達的點bs+n有可能在直線bsas的下方,也有可能在bsas的上方。
這道題,還需要考慮循環節n和最大方向偏差角。
有了解題思路,田立心便開始在稿紙上畫圖了。
怎麼將自己的想法轉化成數學語言才是關鍵。
兩個多小時後,田立心終於抬起了頭,暗暗舒了口氣,可算是把這道題解出來了!
只是,左前方的阿三哥和右前方的俄國選手呢?
都提前走人了?
這兩貨這麼強的嗎?
田立心也知道,有些國家雖不能拿到團隊冠軍,但總還是有一兩個天才選手的。
算你們厲害好吧!
田立心將答案謄到卷子上,這才發現,離考試結束還有一個多小時呢。
他仔細檢查一遍,便站了起來。
交卷!
鄰桌的那位寶島女孩,此時還正絞盡腦汁地想著怎麼破解第二道題呢。
離開考場之後,田立心就在巡邏志願者的護送下,很快就走出了警戒線之外。
隨後,他一眼就看到了站在不遠處的,正翹首以待的齊教授和副教練。
他們身邊,已經有一位隊員了。
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