測試廣告1秦克刷刷刷地在試卷的答題區邊寫邊畫起來:
「解:把1,2,…,13按如下規則排成一個圓圈:先排1,在1旁邊放9(與1的差為8),在9的旁邊放4(與9的差為5),這樣繼續放下去,每個數旁邊的數與它相差8或5,最後得到如圖1所示的一個圈(1,9,4,12,7,2,10,5,13,8,,3,11,6),圈上的數能同時滿足:」
「(1)每兩個相鄰的數的差或是8,或是5;
(2)兩個不相鄰的數的差既不等於5,也不等於8。筆神閣 m.bishenge.com
所以本題可以化歸為:在這個圈上,至多能選幾個數,使得每兩個數在圈上不相鄰。」
ok,搞定,完成化歸了。
這個化歸後的問題,是不是與他給寧青筠舉過的例子實質一模一樣了?
所以接下來秦克做起來毫無難度可言,直接將那例子的解法寫出來就行了。
「再畫一個圈,依次排上1,2,…,13,那麼可以選出6個數字,符合不相鄰的條件,比如1,3,5,7,9,11。見圖2。
接下來驗證最多可以選幾個數字。我們先任意選定數字1,這時與之相鄰的2,13都不能選了,把剩下的10個數字配成5對,分別是:(3,4)、(5,6)、(7,8)、(9,10)、(11,12)。在這5對數字中,每一對至多只能選出1個數,也就是說,連同數字1在內,最多只能選出6個數字,使它們互不相鄰。
由此可以得出本問題的答案是:6。」
秦克輕鬆加愉快,在五分鐘不到就搞定第一道附加題。
他看了眼窗外,不知道寧青筠有沒有想起這例題和能不能運用出化歸法,如果也能想起,那這25分她自然能穩穩收入囊中了。
加油吧,學委,我只能幫你到這裡了。
秦克又向看第二題,第二題也相當有難度,難怪能選為附加卷的大題。
「附加題2:設△abc中,頂點a,b,c的對邊分別是a,b,c,內心i到頂點a,b,c的距離分別為,n,l,求證:al2+b2+2=abc」
這一題看似條件不足無從下手,但秦克略一思索,便有了思路。
他決定用面積法來證明。
面積法最基本的思想,就是用兩種不同的方法計算同一個面積,得到的結果應該是相等的。
首先引入△abc的外接圓半徑r,由正弦定理a/sa=b/sb=c/sc=2r,
三角形面積s=(1/2)absc
=(1/2)ab·c/2r
=abc/4r,
所以s=abc/4r。
再將△abc分割為3個四邊形,Δabc的面積s,顯然等於3個四邊形的面積之和s。
如此便將上面的s=abc/4r與3個四邊形面積之和,建立起面積等式。
再根據3個四邊形都有外接圓,且對角線相互垂直,用已知量來表示它們的面積並不會太難,再藉助△abc的外接圓半徑r可以消去角的正弦,不出意外,輕易就能證明這題的結論。
ok,開干。
「證明:設△abc內切圓與三邊bc,ca,ab分別相切於d,e,f,分別連接ef,ei,fi,di,ai,分別得到aeif,bfid,cdie三個四邊形……」
「所以s△abc=saeif+sbfid+scdie=(al2+b2+2)/4r,又因為s△abc=abc/4r,由面積法可知兩種方法求得的s△abc相等,由此得出al2+b2+2=abc」
秦克神色輕鬆地放下筆,最後檢查了一遍確定沒漏題後,看看左右的考生,見人人都做得眉頭緊鎖,全文彥倒已恢復了正常,正刷刷刷地答題。
秦克眼珠一轉,故意舉手道:「報告老師。」
原本考室里就非常安靜,只有監考老師踱步的聲音和極偶爾的咳嗽聲,所以秦克的聲音雖然不算大,多數學生還是聽到的,不由都好奇地抬頭看了他一眼。
尤其是全文彥,聽到秦克的聲音下意識地渾身一個激靈,連做題的思路都被打斷了。
這時已有個三十歲出頭的監考女老師走了過來,問秦克:「同學,你有什麼事?」
「我想交卷。」
聽到這句話,考室里的一眾苦戰考卷的考生們幾乎同時都冒出一個念頭,終於有人被這次題目又多又難的初賽卷子給弄崩潰、要早早放棄了。
眾人心裡感嘆之餘,也暗暗給自己鼓勵,自己可不能像這傢伙一樣輕易就放棄了,得堅持和發揮奧林匹克精神,就算不會做,也要堅持到最後一刻!
加油,xxx,你行的!
考室里的學生們心思大同小異,全文彥和遠處的池嘉慕更是精神一振。
兩人原本進入考場後心情久久不能平伏,好不容易進入狀態,剛剛解了一兩道題,就聽到了秦克要交卷,兩人在心頭一松的同時,也不由「呵」地冷笑,這痞子果然水平很爛,也不知道怎麼混入參賽隊伍中的,趕緊滾吧。
與秦克「仇深似海」的全文彥,自信心刷地回復了。
自己剛才居然有點怕這個學渣痞子,簡直好笑!這回自己就要用鐵打的分數,狠狠地反抽他的臉!讓他知道,這奧數考試,不是他這樣的渣子能混進來撒野的!
還有那個寧青筠,仗著長得漂亮就傲氣得不行,自己這回也要甩開她幾十分,讓她在自己面前永遠抬不起頭來!
這邊全文彥心裡全是病態的報復心理和自己yy產生的快意,來到秦克旁邊的女老師倒是脾氣好,也是個負責任的,她溫聲道:「同學,按照規定,不到一個半小時不能交卷的。這次的題目確實有點難度,你就算不會也應該多努力思考,說不定就……」
她見慣了考奧數考到崩潰的學生,知道該如何安撫。
「可我做完了啊。」
女老師說到一半的話戛然而止,她還以為自己聽錯了:「什麼?」
秦克就等她這話,便放大了聲音道:「我說,我已做完試卷了。這卷子太簡單,一點難度都沒,我所有題目都做完了,留下來也沒什麼事情做,能不能提前交卷啊?」
全場原本有點兒熱血積極的氣氛,頓時變得一片死寂。
所有考生都驚愕地抬頭看向這個大言不慚的考生,心中只閃過一個念頭,吹牛吧?這怎麼可能?
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